17. Δυνάμεις ρητών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

21 Μάρτιος 2026

1 Θεωρία: Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Φυσικό

1.0.1 1. Ορισμός

Δύναμη ενός ρητού αριθμού \(α\) με εκθέτη έναν φυσικό αριθμό \(ν\) (\(ν > 1\)) ονομάζουμε το γινόμενο \(ν\) παραγόντων ίσων με τον αριθμό α.

  • Συμβολικά: \(\mathbf{α^ν = α \cdot α \cdot α \cdot \dots \cdot α}\) (\(ν\) παράγοντες).
  • Το \(α\) ονομάζεται βάση της δύναμης και το \(ν\) ονομάζεται εκθέτης.

Ειδικές Περιπτώσεις:

  • Για \(ν = 1\): \(α^1 = α\).
  • Για \(ν = 0\) (και \(α \neq 0\)): \(α^0 = 1\).
  • Η δύναμη \(α^2\) διαβάζεται «\(α\) στο τετράγωνο» και η \(α^3\) «\(α\) στον κύβο».

1.0.2 2. Πρόσημο της Δύναμης

Το πρόσημο μιας δύναμης με βάση ρητό αριθμό εξαρτάται από τη βάση και τον εκθέτη:

  • Αν η βάση είναι θετικός αριθμός (\(α > 0\)), τότε η δύναμη είναι πάντα θετικός αριθμός.
  • Αν η βάση είναι αρνητικός αριθμός (\(α < 0\)):
    • Η δύναμη είναι θετική αν ο εκθέτης είναι άρτιος.
    • Η δύναμη είναι αρνητική αν ο εκθέτης είναι περιττός.
  • Προσοχή: Υπάρχει διαφορά μεταξύ του \((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9\) και του \(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\).

1.0.3 3. Ιδιότητες των Δυνάμεων

Για οποιουσδήποτε ρητούς \(α, β\) και φυσικούς \(μ, ν\) ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

  1. Πολλαπλασιασμός δυνάμεων με την ίδια βάση: \(α^μ \cdot α^ν = α^{μ+ν}\).
  2. Διαίρεση δυνάμεων με την ίδια βάση: \(α^μ : α^ν = α^{μ-ν}\).
  3. Δύναμη γινομένου: \((α \cdot β)^ν = α^ν \cdot β^ν\).
  4. Δύναμη πηλίκου: \((\frac{α}{β})^ν = \frac{α^ν}{β^ν}\).
  5. Δύναμη δύναμης: \((α^μ)^ν = α^{μ \cdot ν}\).

1.0.4 4. Προτεραιότητα Πράξεων

Σε αριθμητικές παραστάσεις που περιέχουν δυνάμεις, η σειρά εκτέλεσης είναι:

  1. Δυνάμεις.
  2. Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις.
  3. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα σε αυτές με την ίδια σειρά.

1.1 Ασκήσεις

1.1.1 Λυμένες Ασκήσεις

  1. Να υπολογιστεί η τιμή: \((-2)^4\)
    • Λύση: Η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης άρτιος, άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό: \((-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = \mathbf{+16}\).
  2. Να υπολογιστεί η τιμή: \((-3)^3\)
    • Λύση: Η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης περιττός, άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικό: \((-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = \mathbf{-27}\).
  3. Να υπολογιστεί το γινόμενο: \(3^2 \cdot 3^4\)
    • Λύση: Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του αθροίσματος εκθετών: \(3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = \mathbf{3^6}\).
  4. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: \(A = (2+5)^2\)
    • Λύση: Εκτελούμε πρώτα την πράξη στην παρένθεση: \(A = 7^2 = \mathbf{49}\).
  5. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: \(B = 3^2 \cdot (12:2 + 3^2) + 2^5 - 2^2\)
    • Λύση: \(B = 3^2 \cdot (6 + 9) + 32 - 4\) \(B = 9 \cdot 15 + 32 - 4\) \(B = 135 + 28 = \mathbf{163}\).

1.1.2 Άλυτες Ασκήσεις προς Εξάσκηση

  1. Υπολογίστε τις δυνάμεις: \(2^4\), \(10^2\), \(5^3\), \(256^0\), \(1^{2017}\).
  2. Βρείτε το πρόσημο και την τιμή των: \((-5)^2\), \(-5^2\), \((-1)^5\), \((-10)^6\).
  3. Γράψτε σε μορφή μιας δύναμης τα γινόμενα: \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\), \(x \cdot x \cdot x\), \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot α \cdot α \cdot α\).
  4. Εφαρμόστε τις ιδιότητες για να απλοποιήσετε: \(3^6 : 3^4\), \([(-2)^3]^2\), \((2 \cdot 5)^2\).
  5. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(2^2 + 3^2 + 4^2\).
  6. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(2 \cdot (2^3 + 3 \cdot 2^2) - 2^3 \cdot 5\).
  7. Συγκρίνετε τις δυνάμεις: \((2 \cdot 3)^2\) και \(2^2 \cdot 3^2\).
  8. Υπολογίστε την τιμή: \((-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + (-1)^5\).
  9. Αποδείξτε ότι η παράσταση \(A = (x-3)^2\) έχει τιμή \(9\) όταν \(x=0\) και τιμή \(1\) όταν \(x=2\).
  10. Υπολογίστε την παράσταση: \([(-2)^3 \cdot 3 - 3^4 + (-2)^4 : 16] + [-1 - (-1)^7 \cdot 8]\).

2 Η θεωρία και οι ασκήσεις για τις δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο συνοψίζονται στα εξής:

2.1 1. Θεωρία: Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Δύναμη με εκθέτη το μηδέν: Η δύναμη κάθε ρητού αριθμού \(α\) (με \(α \neq 0\)) με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με τη μονάδα: \(α^0 = 1\).
  • Δύναμη με εκθέτη 1: Κάθε αριθμός υψωμένος στην πρώτη δύναμη ισούται με τον εαυτό του: \(α^1 = α\).
  • Δύναμη με αρνητικό εκθέτη: Η δύναμη ενός μη μηδενικού αριθμού \(α\) με αρνητικό εκθέτη \(-\nu\) ορίζεται ως το κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο (θετικό) εκθέτη: \[\mathbf{α^{-\nu} = \frac{1}{α^\nu}}\].
  • Δύναμη κλάσματος με αρνητικό εκθέτη: Για να υπολογίσουμε τη δύναμη ενός κλάσματος με αρνητικό εκθέτη, αντιστρέφουμε το κλάσμα και αλλάζουμε το πρόσημο του εκθέτη: \[\mathbf{\left(\frac{α}{β}\right)^{-\nu} = \left(\frac{β}{α}\right)^\nu = \frac{β^\nu}{α^\nu}}\].

=================================================

Σημείωση: Όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό (πολλαπλασιασμός/διαίρεση δυνάμεων με ίδια βάση, δύναμη γινομένου/πηλίκου, δύναμη δύναμης) ισχύουν και για τις δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο.

2.2 2. Λυμένες Ασκήσεις

  1. Υπολογισμός δύναμης με αρνητικό εκθέτη:
    • \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \mathbf{\frac{1}{4}}\).
    • \((-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = \mathbf{-\frac{1}{32}}\).
  2. Υπολογισμός δύναμης κλάσματος:
    • \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \mathbf{\frac{16}{9}}\).
  3. Σύνθετη παράσταση:
    • \(A = (-1)^{-3} + (-1)^{-2} + (-1)^{-1} + (-1)^0 + (-1)^1 + (-1)^2\)
    • \(Λύση:\) \(A = -1 + (+1) + (-1) + 1 + (-1) + (+1) = \mathbf{0}\).
  4. Ιδιότητες δυνάμεων:
    • \(3^3 : 3^{-2} = 3^{3 - (-2)} = 3^{3 + 2} = 3^5 = \mathbf{243}\).
    • \([(-3)^3]^2 = (-3)^{3 \cdot 2} = (-3)^6 = \mathbf{729}\).

2.3 3. Άλυτες Ασκήσεις προς Εξάσκηση

Α. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω δυνάμεων:

  1. \(15^{-1}\)
  2. \(\left(-\frac{4}{3}\right)^{-2}\)
  3. \((-2)^{-2} \cdot (-2)^{-3} \cdot 8^{-1}\)
  4. \(10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}\)

Β. Απλοποιήστε τις παραστάσεις (μορφή μιας δύναμης):

  1. \(B = (4^4 : 4^5) \cdot \frac{2^6}{2^2} \cdot (3^{10} : 3^6)\)
  2. \(\Gamma = \frac{(-4)^{-4} \cdot 8^{-4}}{32^{-4}}\)

Γ. Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων:

  1. \(A = 2 \cdot x^{-4} - 6 \cdot 4^{x-3} + 1^{x-2} - 5^{x-2}\), αν \(x=1\)
  2. \(B = 2 \cdot x^{-2} - 2 \cdot x^{-x} + x^x \cdot 3 \cdot (-1)^3\), αν \(x=-2\)
  3. \(\Delta = \left(-\frac{1}{2}\right)^{x-4} + \left(-\frac{1}{3}\right)^{x-3} + \left(-\frac{1}{5}\right)^{x-2} + (-1)^{x-1} - (-1)^x\), αν \(x=1\)

Δ. Εξισώσεις:

  1. Να λυθεί η εξίσωση: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} \cdot x = -8\).

Η τυποποιημένη μορφή χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για τη σύντομη και εύκολη γραφή αριθμών που είναι πολύ μεγάλοι ή πολύ μικροί κατά απόλυτη τιμή. Η γραφή αυτή βασίζεται στη χρήση των δυνάμεων του 10.

3 Θεωρία Τυποποιημένης Μορφής

  1. Ορισμός: Ένας αριθμός γράφεται σε τυποποιημένη μορφή όταν εκφράζεται ως γινόμενο: \[\mathbf{α \cdot 10^ν}\] όπου:
    • Ο αριθμός \(α\) είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο στο ακέραιο μέρος του (δηλαδή \(1 \le α < 10\)).
    • Ο εκθέτης \(ν\) είναι ένας ακέραιος αριθμός.
  1. Μεγάλοι Αριθμοί (\(ν > 0\)): Χρησιμοποιούμε θετικό εκθέτη για να δηλώσουμε μεγάλους αριθμούς. Για παράδειγμα, το \(2.000.000\) γράφεται ως \(2 \cdot 10^6\).
  2. Μικροί Αριθμοί (\(ν < 0\)): Χρησιμοποιούμε αρνητικό εκθέτη για να δηλώσουμε αριθμούς πολύ μικρούς (κοντά στο μηδέν). Για παράδειγμα, το \(0,00000022\) γράφεται ως \(2,2 \cdot 10^{-7}\).
  3. Πώς βρίσκουμε τον εκθέτη:
    • Για μεγάλους αριθμούς, ο εκθέτης \(ν\) ισούται με τον αριθμό των θέσεων που μετακινήθηκε η υποδιαστολή προς τα αριστερά ώστε να μείνει ένα ψηφίο στο ακέραιο μέρος.
    • Για μικρούς αριθμούς, μετράμε πόσες θέσεις προς τα δεξιά πρέπει να μετακινηθεί η υποδιαστολή για να προκύψει ο αριθμός \(α\). Αυτός ο αριθμός θέσεων μπαίνει ως εκθέτης με αρνητικό πρόσημο.

3.1 Λυμένες Ασκήσεις

1. Να γραφτούν σε τυποποιημένη μορφή οι μεγάλοι αριθμοί:

  • \(583.000\)
    • Λύση: Μεταφέρουμε την υποδιαστολή 5 θέσεις αριστερά: \(5,83 \cdot 10^5\).
  • \(3.420.000.000\)
    • Λύση: Μεταφέρουμε την υποδιαστολή 9 θέσεις αριστερά: \(3,42 \cdot 10^9\).

2. Να γραφτούν σε τυποποιημένη μορφή οι μικροί αριθμοί: * \(0,123456789\) * Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή 1 θέση δεξιά: \(1,23456789 \cdot 10^{-1}\). * \(0,00000003598\) * Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή 8 θέσεις δεξιά: \(3,598 \cdot 10^{-8}\). * Βάρος μορίου νερού: \(0,00000000000000000000029 \text{ gr}\) * Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή 22 θέσεις δεξιά: \(2,9 \cdot 10^{-22} \text{ gr}\).

3.2 Άλυτες Ασκήσεις προς Εξάσκηση

Α. Γράψτε τους παρακάτω αριθμούς σε τυποποιημένη μορφή:

  1. \(1.200.000.000.000\)
  2. \(34.000.000\)
  3. \(0,00000023\)
  4. \(0,00000000000005\)
  5. \(125.000.000\)
  6. \(0,0000000584\)

Β. Μετατρέψτε σε τυποποιημένη μορφή (διορθώστε τη γραφή):

  1. \(123 \cdot 10^8\)
  2. \(223,4 \cdot 10^{-10}\)
  3. \(0,323 \cdot 10^{-9}\)

Γ. Εκτελέστε τις πράξεις και δώστε το αποτέλεσμα σε τυποποιημένη μορφή:

  1. \(237.000.000 \cdot 5.000.000\)
  2. \(0,00000002 \cdot 0,00000023\)
  3. \(13.500.000.000 : 3.000.000\)

Δ. Συγκρίνετε τους αριθμούς:

  1. \(8 \cdot 10^7\) και \(5 \cdot 10^9\)
  2. \(18 \cdot 10^6\) και \(18.000.000\)
  3. \(2 \cdot 10^{-6}\) και \(1,5 \cdot 10^{-7}\)